Найдите площадь поверхности многогранника на рисунке: как решать

Коротко. Задача «найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые)» встречается в ЕГЭ по математике и в школьной стереометрии. Решается она за пару минут, если знать два приёма: метод проекций и правило «вырез в углу не меняет площадь». Ниже — оба приёма на примерах, расчёт объёма той же фигуры и способ проверить решение нейросетью, не переписывая ответ вслепую.

Что означает условие задачи

Фраза «все двугранные углы прямые» — главная подсказка. Она значит, что каждая грань параллельна одной из трёх плоскостей: передней, боковой или нижней. Фигура собрана из прямоугольных параллелепипедов, все её грани — прямоугольники, а все размеры на рисунке идут вдоль трёх направлений: длины, ширины и высоты.

Отсюда два следствия. Во-первых, никаких наклонных граней и теорем Пифагора — только сложение площадей прямоугольников. Во-вторых, каждая грань «смотрит» в одну из шести сторон: вперёд, назад, влево, вправо, вверх или вниз. На этом и построен самый быстрый способ решения.

Перед расчётом выпишите все размеры с рисунка и достройте недостающие. Обычно подписаны не все рёбра: длину нижней ступеньки находят как разность общей длины и верхней, высоту выемки — как разность высот. На этом шаге и теряется большинство баллов.

Метод проекций: площадь за три умножения

Представьте, что смотрите на фигуру спереди. Всё, что вы видите, — это грани, обращённые к вам; их суммарная площадь равна площади силуэта, то есть проекции фигуры на переднюю плоскость. Сзади видно ровно столько же. Значит, площадь поверхности равна:

S = 2 · (S_{спереди} + S_сбоку + S_сверху)

Формула работает, когда любая прямая, параллельная ребру, пересекает фигуру по одному отрезку — без сквозных пазов и «тоннелей». Для большинства задач ЕГЭ это так. Если в фигуре есть паз, к ответу нужно прибавить его внутренние стенки: их из проекций не видно.

Пример 1. Вырез в углу

Параллелепипед 3 × 4 × 5, из угла вырезан кубик 1 × 1 × 1. Силуэты спереди, сбоку и сверху остались прежними прямоугольниками: вырез их не меняет. Поэтому:

S = 2 · (3·4 + 3·5 + 4·5) = 2 · (12 + 15 + 20) = 94.

То же самое объясняет правило «вырез в углу не меняет площадь»: с трёх внешних граней пропало три квадрата 1 × 1, а внутри выемки появилось ровно три таких же. Объём при этом уменьшился: V = 3·4·5 − 1 = 59.

Пример 2. Паз сверху

Параллелепипед: длина 6, ширина 4, высота 3. Сверху посередине прорезан паз во всю ширину: длиной 2 и глубиной 1. Проекции:

• спереди (длина × высота): 6·3 − 2·1 = 16 — в силуэте виден вырез;
• сбоку (ширина × высота): 4·3 = 12 — паз не виден;
• сверху (длина × ширина): 6·4 = 24.

2 · (16 + 12 + 24) = 104. Теперь стенки паза: две грани 4 × 1, которые не попали ни в одну проекцию, — ещё 8. Итого S = 104 + 8 = 112. Объём: V = 6·4·3 − 2·4·1 = 64.

Типы фигур и чем их считать

Во всех случаях полезно посчитать площадь вторым способом — сложением всех граней по одной. Совпали ответы — можно записывать.

Как решить задачу с рисунком нейросетью

Модели, которые понимают изображения, читают чертёж с фотографии и считают площадь. Слабое место у них одно: они могут неверно прочитать размер или отнести ребро не к той грани. Поэтому работайте в два шага.

1. Сначала размеры. Загрузите фото и попросите: «Перечисли все размеры с рисунка и укажи, к какому ребру относится каждый. Ничего пока не считай». Сверьте список с картинкой.
2. Потом решение. «Найди площадь поверхности методом проекций, затем проверь сложением всех граней. Если в фигуре есть паз, отдельно посчитай его стенки».
3. Проверка второй моделью. Отдайте то же условие другой модели. Расходятся ответы — ищите, где разошлись размеры.

Школьные задачи по фото удобно разбирать в Знайке — разделе Умки для домашних заданий. Для стереометрии с длинными вычислениями хорошо подходит DeepSeek: он подробно расписывает шаги. Как сделать снимок, который модель прочитает без ошибок, мы разбирали в статье про решение задач по фото.

Объём многогранника на рисунке

Вариант «найдите объём многогранника, изображённого на рисунке» решается ещё проще. Есть два пути:

• Дополнить и вычесть. Достройте фигуру до целого параллелепипеда и вычтите объём недостающих брусков — так считали в примерах выше.
• Разрезать и сложить. Разбейте фигуру на бруски плоскостями, параллельными граням, и сложите их объёмы. Удобно для «лесенок» и букв Г и Т.

Если в задаче нужно «вычислить объём и площадь поверхности многогранника» одновременно, считайте объём обоими путями: это бесплатная проверка того, что размеры прочитаны верно.

Типичные ошибки

• Вычитают вырез из площади. Для объёма это верно, для площади — нет: вместо пропавших граней появляются новые.
• Теряют стенки паза. Метод проекций их не видит, добавлять нужно вручную.
• Путают размеры. На рисунке подписаны не все рёбра: недостающие находятся как разность или сумма подписанных.
• Пишут объём вместо площади. Перечитайте вопрос перед тем, как записать ответ.

Похожая логика — проверять каждый шаг — работает и в алгебре: в статье о решении уравнений нейросетью мы показали, как ловить ошибки модели подстановкой. Если хочется разобраться, на каких ещё задачах ИИ помогает, а где путается, загляните в обзор решения задач с ИИ. Тренироваться удобно на заданиях из открытого банка ФИПИ.

Сколько стоит разбор в Умке

Подписки нет — токены списываются за каждый запрос. Ответ умной модели стоит около 33 токенов, быстрой — 1 токен, а 8 моделей бесплатны. После регистрации дают 60 токенов в подарок — этого хватит на один разбор умной моделью. Стартовый пакет — 725 токенов за 290 ₽, примерно 21 подробный разбор задачи. Остальные пакеты — на странице тарифов.

Вывод

Если все двугранные углы прямые, площадь поверхности многогранника считается методом проекций: удвоенная сумма площадей видов спереди, сбоку и сверху. Вырез в углу площадь не меняет, паз добавляет свои стенки. Объём — дополнением до параллелепипеда или разрезанием на бруски. Нейросеть ускорит решение, если сначала сверить с ней размеры, а ответ проверить вторым способом.

Частые вопросы